ProPHY No.03
NCU Physics Journal
美味的理論－
用物理做可麗餅
撰文／李岳瞬
「廚師稍稍傾斜平底鍋，當中的麵糊輕巧的滑過，薄而平坦的覆滿整個鍋底。幾秒鐘後餅皮已經成形，翻面再煎一會，香噴噴的可麗餅便完成了！」看完料理節目之後躍躍欲試的觀眾們依樣備好材料，煎出來的餅卻沒有那麼平整，甚至還有些坑洞。到底如何「操控」鍋子才能煎出最平整的可麗餅？閒來沒事又富有好奇心的物理學家們於是搬出吃飯傢伙來好好研究一番，研究結果還登上期刊 Physical Review Fluids。
首先研究者們建立了一個模型，以「重力流（gravity current）」描述平底鍋中的麵糊。由於我們不會劇烈的改變傾斜方向，假設系統受的力只有與鍋底的交互作用與重力。這個問題困難的地方在於麵糊會逐漸固化，研究者透過讓麵糊的「黏性」隨溫度變化來處理。
由於是探討「傾斜平底鍋」讓麵糊流動的方案，平底鍋的中心點固定不動。為了描述鍋子的傾斜程度、方向與麵糊的位置，研究者建立了相對於「鍋底」靜止的座標系：（Ｘ',Ｙ',Ｚ'）。（其中鍋底位於xy平面，麵糊所在處z不為負），並訂重力加速度的x分量、y分量為gsinθ、gsinβ，以 (θ(t),β(t))決定鍋子傾斜情形。
「找出最佳答案」的方法數學上稱為「最佳化」。要知道可能的辦法「有哪些」（控制方程）、和一種辦法「有多好」（目標函數），最後在可能的辦法中選出最好的。在這個問題中，「有多好」的衡量指標是「平坦程度」其實就是「起伏程度」的相反數。起伏程度在此定義為（各處的厚度-平均厚度）的平方總和：
因為鍋底面積固定，這個量正比於厚度的變異數。至於規範「有哪些可能」的微分方程則要透過流體力學得到，本文從略。
在（1）式中，t：時刻、h：厚度、hopt：麵糊平均鋪滿鍋底的厚度。在後面的文章中，tf指的是結束時間，因此U(tf)就是可麗餅煎好後的起伏程度喔！
建立控制方程、目標函數後，研究者接著要使用數值方法找到最好（U(tf) 最小）的答案。首先嘗試的是「蒙地卡羅法（Monte Carlo method）」，也就是隨機生成輸入值，以找出最小的輸出值。由於這種方法非常耗費運算資源（要試很久），研究者於是假設結果應該是以下方程組：
的形式，再於[5, 45]°與[5, 50]s的區間內嘗試不同的A1,A2,T1,T2值。發現的最佳解（表１）。都比完全不傾斜鍋子，放著麵糊自己流的要好。接下來研究者用了比較有效率的「伴隨法（adjoint optimization）」，在不設定解的形式的情況下計算，發現可以找到U(tf) 更小的方法！
鍋子靜止時與利用伴隨法所得到的起伏程度（γ為操控鍋子傾斜的單位成本，γ越低代表越不在乎操控鍋子的花費）：
這種煎可麗餅的「最佳方法」大略如下：先讓麵糊到平底鍋的一側，在繞一到兩圈，並在過程中逐漸減小傾斜程度。這……不就是我們平常煎可麗餅的方法嗎？但能上Physical Review Fluids還是有理由的：這項可食用的技術可以應用在生產手機顯示器等需要塗布液體薄膜的工業製程上，也算是是對我們的生活有幫助啦！
參考資料：
E. Boujo and M. Sellier (2019). Pancake making and surface coating: Optimal control of a gravity-driven liquid film Phys. Rev. Fluids 4, 064802. https://doi.org/10.1103/PhysRevFluids.4.064802
https://arxiv.org/abs/1901.06028
